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Un réseau invariant d'échelle est un réseau qui continue à fonctionner (l'information circule d'un point à un autre) même si l'on supprime la majorité des nœuds du réseau, mais qui cesse de fonctionner si l'on supprime un petit nombre de nœuds très fortement interconnectés. Aucun nœud, soit faiblement connecté, soit fortement connecté n'est représentatif de l'ensemble. C’est pour cela que l’interconnexion de ces réseaux se modèlise avec une loi de puissance : un nœud quelconque à 4 fois plus de chances d’avoir juste la moitié des liens entrants d’un autre nœud alors que dans un réseau aléatoire, modélisé par une distribution de Poisson, la majorité des nœuds a un nombre de connexions proche de la moyenne et très peu de nœuds ont peu ou beaucoup de connexions (ce qui en fait un réseau plus démocratique, plus égal, mais plus vulnérable aux pannes/attaques).

Des études montrent que c'est le cas d'Internet, du web, des mails (la plupart des individus reçoivent peu de mails, d'autres des avalanches), des réseaux sociaux (je ne parle pas de Facebook ou dde Twitter, mais de tout réseau social dans lequel il y a des affinités préférentielles qui se font genre famille > ami⋅e⋅s > reste du monde) des relations sexuelles (la plupart des individus ont peu de partenaires au cours de leur vie, mais un petit nombre d'individus en ont des centaines), des réseaux de collaborations scientifiques (quelques scientifiques sont présent⋅e⋅s dans des milliers de travaux scientifiques).

La théorie des réseaux aléatoires échoue à décrire les réseaux énoncés ci-dessus car :

• L'ensemble des nœuds n'est jamais connu à l'avance. Au contraire, il augmente parfois grandement en permanence (c’est le cas d’Internet et du web, par exemple) ;
  
  
• Attachement préférentiel. Tout nouvel entrant dans ces réseaux préfère se connecter avec les nœuds les plus anciens qui sont les mieux connectés. Pensons au web : une majorité d'individus connaît une minuscule fraction de la toile.

Ces réseaux invariants d'échelle sont très résistants à des pannes massives et à des attaques à l'aveugle. En revanche, ils sont très sensibles à des attaques ciblées et concertées. Des recherches ont montré que cibler de 5 % à 15 % des nœuds les mieux interconnectés peut entraîner l'effondrement du système.

Il existe un seuil critique pour la propagation d'un virus dans une population donnée : tout virus dont le seuil de contagiosité est inférieur à ce seuil critique fini par disparaître. Au-delà de ce seuil critique, le virus se développe de manière exponentielle, infectant toute la population. Or, dans un réseau invariant d'échelle, ce seuil critique est nul selon les travaux de Pastor-Satorras et Vespigniani. Ainsi, dans un réseau invariant d'échelle, tous les virus, même les moins contagieux se propagent et perdurent.

Source de tout mon blabla : « Dossier pour la science » numéro 66 de janvier-mars 2010.

Récemment, on m'a rappelé quelques propriétés des machines de Turing (que sont nos ordinateurs, ordiphones, etc.) :

• Le programme et les données sont confondus : rien ne permet de dire, a priori, ce qui est un programme et ce qui est une donnée, tout est 0 et 1. Seule l'interprétation permet de dire ce qui est une donnée ou un programme. Ainsi, il est parfaitement possible d'écouter, avec un lecteur multimédia, un exécutable quelconque : du son sera bien émis ;
  
  
• On ne sait pas réduire le jeu d'instructions d'une machine de Turing à la demande. C'est pour cela que les DRM ne peuvent empêcher un ordinateur de copier du contenu, fut-il protégé. C'est aussi pour cela qu'on ne sait pas garantir que tel programme fera toujours uniquement ce que l'on désire, qu'il n'y a pas de fonctions cachées (des bombes logiques) ;
  
  
• On ne sait pas prédire, a priori, avant de l'exécuter, la durée d'exécution d'un programme d'une machine de Turing, ni même dire si tel programme destiné à une machine de Turing comporte bien une fin. Je parle de manière générale, pour tout programme, évidemment qu'on sait prédire le comportement d'un « hello world » banal.

Appliquée en économie, l'expression longue traîne (long tail en anglais) est connue du grand public pour désigner la stratégie de vendre une grande diversité de produits, chacun en petite quantité.

[…]

Anderson décrit les effets de cette longue queue sur les modèles économiques présents et futurs. Il pense que les produits qui sont l’objet d’une faible demande, ou qui n’ont qu’un faible volume de vente, peuvent collectivement représenter une part de marché égale ou supérieure à celle des best-sellers, si les canaux de distribution peuvent proposer assez de choix, et créer la liaison permettant de les découvrir. Des exemples de tels canaux de distribution sont représentés par Amazon, Netflix ou Wikipédia. Comme ces exemples l’illustrent, la longue queue est un marché potentiel, rendu accessible par les possibilités d’Internet.

Un employé d’Amazon décrit la longue queue comme ceci : Aujourd’hui, nous avons vendu plus de livres qui ne se sont pas vendus hier que nous n’avons vendu de livres que nous avons vendu aussi hier.6 Dans le même ordre d’idée, les articles peu lus de Wikipédia ont, collectivement, plus de lecteurs que les articles principaux que l’on peut également trouver sur des encyclopédies généralistes telles que l’Encyclopædia Britannica. La même chose se passe pour les livres à l’inventaire d’Amazon : la demande totale pour les articles peu demandés dépasse la demande totale des articles très demandés. La stratégie commerciale s'avère plus rentable que si elle tenait uniquement sur la vente de blockbusters.

Internet permet de prendre en compte les petites niches, notamment par la réduction des coûts (Amazon et le Netflix qui vendait des DVD par correspondance avaient de gros entrepôts centralisés en comparaisons d'une librairie / vendeur de DV de quartier). Amazon, Netflix, Google (sa publicité ciblée par mots-clés ou son Pagerank qui profite que peu de pages ont un nombre conséquent de liens pointant vers eux pour hiérarchiser l'information) vendent le non-mainstream qui était ingérable donc invendu auparavant.

En statistiques, une série longue traîne n'a pas de moyenne et augmenter la taille de l'échantillon ne permet pas de la déterminer comme avec la loi normale car augmenter la taille de l'échantillon amène encore plus de bruit (car la moyenne pondérée tendra vers l'infini). Une répartition longue traîne permet de modéliser quelque chose qui croît de manière exponentielle sur une durée limitée. Exemple : les revenus des gens suivent une distribution de Pareto (et pas une loi normale) puisque certains hauts revenus sont très loin de la moyenne sans pouvoir être augmentés de manière infinie.

Source de mon blabla : « Dossier pour la science » numéro 66 de janvier-mars 2010.